Интересные факты
Эйлер создал большую часть математической терминологии и обозначений, которые всё ещё используются сегодня, особенно в математическом анализе.
Эйлера помнят как самого важного ученого XVIII века, а также как одного из величайших математиков, которые когда-либо жили.
Он также является одним из самых плодовитых учёных и мыслителей в области математики, поскольку его труды составляют от шестидесяти до восьмидесяти томов.
У Эйлера есть две цифры, названные его именем. Первое число — это число Эйлера в исчислении, представленное просто как «E», которое имеет приблизительное значение 71828
Второе число — это константа Эйлера-Маскерони, которую обозначают как «С». Она имеет приблизительное значение 0,57721.
Отец Эйлера был другом семьи Бернулли. В те годы Иоганн Бернулли считался самым выдающимся математиком Европы, и в конечном итоге он оказал самое большое воздействие на молодого Леонарда.
В 1726 году Эйлер завершил диссертацию о распространении звука под именем De Sono.
В области науки Эйлер много писал об идеях физики континуума, теории Луны и других областях.
В тригонометрии Леонард был первым исследователем, который ввёл письменную систему для тригонометрических функций с использованием буквы «E» в качестве основы.
Эйлер и его друг Даниил Бернулли были противниками монизма Лейбница и философии Христиана Вольфа.
Леонард настаивал на том, что знание основано частично на точных количественных законах, чего не могли обеспечить монизм и вольфовская наука.
Эйлер изображен на шестой серии швейцарских банкнот номиналом в 10 франков.
В 2002 году астероид был назван в его честь. Он был обнаружен 29 августа 1973 года советским астрономом Тамарой Смирновой.
Санкт-Петербург (1727-1741): стремительный взлет
Эйлер провел зиму 1726 года в Базеле, изучая анатомию и физиологию в рамках подготовки к исполнению своих ожидаемых обязанностей в академии. Когда он прибыл в Санкт-Петербург и начал работать адъюнктом, стало очевидным, что он должен полностью посвятить себя математическим наукам. Кроме того, от Эйлера требовалось участвовать в принятии экзаменов в кадетском корпусе и консультировать правительство по различным научно-техническим вопросам.
Леонард легко адаптировался к новым суровым условиям жизни на севере Европы. В отличие от большинства других иностранных членов академии, он сразу же начал изучать русский язык и быстро его освоил, причем в письменной и устной формах. Некоторое время он жил с Даниэлем Бернулли и дружил с Кристианом Гольдбахом, постоянным секретарем академии, известным сегодня по своей до сих пор не решенной проблеме, согласно которой любое четное число, начиная с 4, может быть представлено суммой двух простых чисел. Обширная переписка между ними является важным источником по истории науки в XVIII веке.
Леонард Эйлер, достижения в математике которого мгновенно принесли ему мировую известность и повысили его статус, провел в академии свои наиболее плодотворные годы.
В январе 1734 г. он женился на Катарине Гзель, дочери швейцарского художника, преподававшего вместе с Эйлером, и они переехали в собственный дом. В браке появилось на свет 13 детей, из которых, однако, лишь пятеро достигли совершеннолетия. Первенец, Иоганн Альбрехт, также стал математиком, и позже помогал отцу в его работе.
Эйлера не обошли невзгоды. В 1735 году он серьезно заболел и чуть не умер. К великому облегчению всех он поправился, но через три года снова заболел. На этот раз болезнь стоила ему правого глаза, что отчетливо видно на всех портретах ученого с того времени.
Политическая нестабильность в России, которая наступила после смерти царицы Анны Ивановны, вынудила Эйлера покинуть Санкт-Петербург. Тем более что он имел приглашение от прусского короля Фридриха II приехать в Берлин и помочь создать академию наук там.
В июне 1741 года Леонард вместе со своей женой Катариной, 6-летним Йоханном Альбрехтом и годовалым Карлом выехал из Санкт-Петербурга в Берлин.
Великое наследие ученого
Список работ, опубликованных за жизнь Леонарда Эйлера, составлял около пятидесяти страниц. До сих пор сохранилась масса книг, исследований и диссертаций, которые были созданы при жизни Эйлера. Около 700 различных книг, исследований и диссертаций остались в научном наследии великого математика. Петербургская академия опубликовала их в течение 50 лет после смерти Эйлера. Наиболее важные работы Эйлера, которые являются фундаментальными, и это не преувеличение: введение в «Analysin Infinitorum» (1748), «Institutiones Calculus Differentialis» (1755) и «Institutiones Calculi Integralis» (1770). Это трилогия, которая представляет собой сборник математических знаний восемнадцатого века. Она является личным вкладом Эйлера в развитие современной математики.
Достоинство работ Леонарда Эйлера настолько велико, что знаки, которые он придумал для математических функций или величин являются его собственными идеями, сегодня они рассматриваются математическим сообществом как “орфография математики” .
Опять Санкт-Петербург (1766-1783)
Высокочтимый в академии и обожаемый при дворе Екатерины, великий математик Эйлер занимал чрезвычайно престижную должность и пользовался влиянием, в котором ему так долго отказывали в Берлине. Фактически он играл роль духовного лидера, если не руководителя академии. К сожалению, однако, со здоровьем у него не все складывалось так хорошо. Катаракта левого глаза, начавшая беспокоить его в Берлине, становилась все серьезнее, и в 1771 году Эйлер решился на операцию. Ее следствием стало формирование абсцесса, который почти полностью разрушил зрение.
Позже в том же году во время большого пожара в Санкт-Петербурге его деревянный дом вспыхнул, и почти слепому Эйлеру удалось не сгореть заживо только благодаря героическому спасению Питером Гриммом, мастеровым из Базеля. Чтобы облегчить несчастье, императрица выделила средства на строительство нового дома.
Еще один тяжелый удар постиг Эйлера в 1773 г., когда умерла его жена. Спустя 3 года, чтобы не зависеть от своих детей, он женился во второй раз на ее сводной сестре Саломее-Авигее Гзель (1723-1794).
Несмотря на все эти роковые события, математик Л. Эйлер остался преданным науке. Действительно, около половины его работ было опубликовано или зародилось в Санкт-Петербурге. Среди них два его «бестселлера» – «Письма к немецкой принцессе» и «Алгебра». Естественно, он бы не смог этого сделать без хорошего секретаря и технической помощи, которую ему оказывал, среди прочих, Никлаус Фусс, соотечественник из Базеля и будущий муж внучки Эйлера. Посильное участие в процессе принимал и его сын Иоганн Альбрехт. Последний также выступал в качестве стенографиста сессий академии, на которых ученый, как старейший действительный член, должен был председательствовать.
Эйлер (математик): краткая биография
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. Он был первенцем Паулюса Эйлера и Маргареты Брукер. Отец являлся выходцем из скромного рода ремесленников, а предками Маргареты Брукер был ряд известных ученых. Паулюс Эйлер в то время служил викарием в церкви святого Якоба. Будучи богословом, отец Леонарда интересовался математикой, и в течение первых двух лет обучения в университете посещал курсы знаменитого Якоба Бернулли. Примерно через полтора года после рождения сына семья переехала в Риен, пригород Базеля, где Паулюс Эйлер стал пастором в местном приходе. Там он добросовестно и преданно служил до конца своих дней.
Семья жила в стесненных условиях, особенно после рождения второго ребенка, Анны-Марии, в 1708 году. У четы появятся еще двое детей – Мария Магдалена и Иоганн Генрих.
Первые уроки математики Леонард получил дома от своего отца. Примерно в возрасте восьми лет его отправили в латинскую школу в Базеле, где он жил в доме своей бабушки по материнской линии. Чтобы компенсировать низкое качество школьного образования того времени, отец нанял частного репетитора, молодого богослова по имени Йоханнес Буркхардт, страстного любителя математики.
В октябре 1720 года в возрасте 13 лет Леонард поступил в Базельский университет на философский факультет (обычное дело в то время), где посещал вводные занятия по элементарной математике Иоганна Бернулли, младшего брата почившего к тому времени Якоба.
Молодой Эйлер с таким усердием принялся за учебу, что вскоре привлек внимание преподавателя, который поощрил его изучать более сложные книги собственного сочинения и даже предложил помогать в учебе по субботам. В 1723 году Леонард завершил образование со степенью магистра и прочитал публичную лекцию на латинском языке, в которой сравнил систему Декарта с натуральной философией Ньютона
Следуя пожеланиям своих родителей, он поступил на богословский факультет, посвящая, однако, большую часть времени математике. В конечном итоге, вероятно, по настоянию Иоганна Бернулли, отец принял как должное предназначение сына делать научную, а не теологическую карьеру.
В 19 лет математик Эйлер осмелился соревноваться с крупнейшими учеными того времени, приняв участие в конкурсе на решение задачи Парижской академии наук об оптимальном размещении корабельных мачт. В тот момент он, никогда в своей жизни не видевший кораблей, первый приз не выиграл, но занял престижное второе место. Через год, когда появилась вакансия на кафедре физики в Базельском университете, Леонард, при поддержке своего наставника Иоганна Бернулли, решил побороться за место, но проиграл из-за своего возраста и отсутствия внушительного перечня публикаций. В некотором смысле ему повезло, так как он смог принять приглашение Санкт-Петербургской академии наук, основанной несколькими годами ранее царем Петром I, где Эйлер нашел более перспективное поприще, позволившее ему развиться в полной мере. Основную роль в этом сыграли Бернулли и два его сына, Никлаус II и Даниэль I, которые активно там работали.
Смерть и наследие
18 сентября 1783 г., после семейного обеда, у Эйлера случается кровоизлияние в мозг, после чего, спустя несколько часов, он умирает. Похоронили учёного на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове, рядом с его первой женой Катариной. В 1837 г. Российская академия наук поставила на могиле Леонарда Эйлера бюст на пьедестале, выполненном в форме ректорского кресла, рядом с могильным камнем. В 1956 г., к 250-летию со дня рождения учёного, памятник и останки были перенесены на кладбище XVIII века при монастыре Александра Невского.
В память о его огромном вкладе в науку, портрет Эйлера появился на швейцарских 10-франковых банкнотах шестой серии, а также на ряде российских, швейцарских и немецких марок. В его честь назван астероид «2002 Эйлер». 24 мая лютеранская церковь чтит его память по календарю святых, поскольку Эйлер был убеждённым приверженцем христианства и горячо верил в библейские заповеди.
Вклад в астрономию
По возвращении в северную столицу России у Леонарда развилась катаракта в левом глазу, окончательно лишив ученого зрения. Эйлер обладал феноменальной памятью и не снизил интенсивность работ, даже после полной потери зрения. Он внес неоценимый вклад в развитие математики, механики, оптики, акустики и физической астрономии
Особое внимание, ученый уделял по сей день нерешенной проблеме взаимодействия нашей планеты с естественным спутником — Луной и центром системы — Солнцем. Его работы легли в основу таблиц, для расчетов долготы на морских путях кораблей
Эйлер выполнял в уме сложнейшие расчеты для второй теории движения Луны, после длительной слепоты продолжал разрабатывать теорию чисел и вывел закон квадратичной зависимости.
Работы Эйлера легли в основу таблиц, для расчетов долготы на морских путях кораблей
За свою жизнь, Эйлер посвятил астрономии более ста работ, основным направлением которых являлась небесная или «астрономическая» механика. Необходимость подробного изучения проблем в этом направлении, образовалась с потребностью определения положения мореходных судов, точность счета времени, а также интенсивности приливов и отливов. Еще одной причиной для исследований динамики космических объектов, стал вопрос о взаимодействии компонентов Солнечной системы и ее устойчивости. Еще Ньютоном были замечены отклонения в скорости движения планет и спутников, носящие вековые или годовые характеры. Эйлер точную четкую классификацию возмущений и посветил большую часть жизни решению этой проблемы астрономических механиков ХVІІІ века.
Леонард Эйлер разработал теорию о влиянии Луны на приливы и отливы
В 1740 году Леонард разработал теорию о влиянии Луны на приливы и отливы, за что был удостоен денежной награды Академии наук, обосновал принцип движения комет и других крупных объектов на основе Ньютоновских знаний о гравитации, разработал методику известную как метод четырех — пяти наблюдений, для определения конического сечения комет, и сформулировал уравнение для описания орбиты кометы. Астрофизику принадлежит и первая основополагающая теория «большого неравенства», описывающая движение Юпитера и Сатурна. Эйлер упростил точный расчет траектории динамики возмущенных тел, применив метод приближенного расчета, в последствии названого «Метод ломаных Эйлера». Большое количество задач, помог решить способ деления линейных уравнений на незначительные составляющие части последовательностей, где с уменьшением отдельных рядов и ростом их количества повышалась точность определения траектории небесного тела.
Краткая биография
- Леонард родился в Базеле, в семье простого пастора Павла Эйлера, и Маргариты Брукер. У него было 2 младшие сёстры Анна и Мария, и младший брат Иоганн Генрих.
- 20 октября 1720 года, в возрасте 13 лет, он начал учёбу в университете Базеля. В субботу днём он брал приватные уроки в Иоганна Бернулли, который быстро раскрыл большой математический талант своего ученика. Уже через 3 года молодой Леонард, защищал диссертацию, где он сравнил философские системы Декарта и Ньютона.
- В 1726 году Эйлер завершил докторскую диссертацию о распространении звука. В следующем году Леонард участвовал в ежегодном конкурсе на престижную премию Парижской академии с разработкой оптимального размещения мачт кораблей. Он занял второе место, уступив только Пьеру Бугеру. Всего за свою жизнь Эйлер выиграл эту ежегодную премию 12 раз.
- Когда Эйлер получил высшее образование, два сына Иоганна Бернулли — Даниил и Николай работали в Петербургской академии. Когда в июле 1726 года Николай, проведя год в России, умер от аппендицита, Даниил, взяв на себя функции брата на кафедре математики и физики, порекомендовал Эйлера на вакантную должность по физиологии. В ноябре 1726 года Леонард согласился на это предложение, но он отказался от поездки в Россию весной следующего года — в то время он безуспешно пытался занять место в кафедре физики в университете Базеля. Он прибыл в столицу России только лишь 17 мая 1727 года, заняв вакантную должность на математическом факультете.
- 7 января 1734 года он женился на Екатерине Гзель, дочери художника из петербургской гимназии. Молодая пара приобрела дом возле реки Нева. У них в общей сложности родилось тринадцать детей, из которых только пять пережили детские годы.
- Эйлер, обеспокоенный затянувшимися в России беспорядками, рассматривал возможность покинуть Санкт-Петербург. Через некоторое время он получил предложение от Фридриха II Гогенцоллерна, в котором тот обещал должность в Прусской академии наук в Берлине. Леонард решил покинуть Россию 19 июня 1741 года ради Берлина, где он прожил 25 лет. Там Эйлер написал более 380 статей, но только 2 свои работы он решил опубликовать («Введение в анализ бесконечно малых» и «Наставление по дифференциальному исчислению»).
- Несмотря на большой вклад Леонарда в престиж Берлинской академии, он был вынужден в конечном итоге покинуть Берлин. Причиной стал, по крайней мере, частично личный конфликт Эйлера с Фридрихом. С течением времени Фридрих начал считать Эйлера простым человеком, особенно когда он сравнивал его с учёными из круга авторитетных философов, которых он, король Пруссии, привёл в Берлинскую академию. Среди них был Вольтер, который занимал привилегированное положение в компании, собранной вокруг короля. Леонард, обычный религиозный человек, рабски преданный своему делу, был очень условен в своих убеждениях и вкусах. Во многих отношениях он был противоположностью Вольтера. Его риторическая подготовка была очень ограниченной, и он был склонён принимать участие в дискуссиях по темам, в которых он не был очень опытным, что делало его частой целью шуток Вольтера.
- Спустя 3 года после смертельной лихорадки, которая поразила его в 1735 году, Эйлер почти потерял зрение в правом глазу. Зрение Леонарда ухудшилось во время его пребывания в Берлине настолько, что Фридрих называл его «Циклопом». Позже Эйлер страдал катарактой второго здорового глаза; это привело к почти полной слепоте. Несмотря на эти проблемы со здоровьем, производительность Эйлера в его работе снизилась лишь в незначительной степени — он компенсировал свои проблемы со зрением фотографической памятью и способностью делать вычисления в памяти. Например, Леонард мог без малейших колебаний повторить слово в слово из «Энеиды» Вергилия, более того: он мог указать, какой стих начинается и заканчивается в книге.
- Ситуация в России стабилизировалась после того, как Екатериной II стала императрицей. В 1766 году Эйлер решает вернуться в Петербургскую академию. Его второе пребывание в столице России закончилось трагическими событиями; в 1771 году пожар, разразившийся в Петербурге, разрушил дом Эйлера. Два года спустя, он потерял свою жену, с которой прожил приблизительно 40 лет. 18 сентября 1783 года в Петербурге Эйлер умер от инсульта.
Биография
Леонард родился в Швейцарии, в Базеле, 15 апреля 1707 года. Семья жила довольно скромно – отец работал богословом, но в свободное время увлекался математикой. Именно он и стал первым учителем своего первенца.
В 8 лет Леонарда отправили в школу, однако качество образования оставляло желать лучшего, поэтому отец смог нанять репетитора по математике, священника Йоганнеса Буркхарта. В 1720 году Эйлер становится студентом Базельского университета, где его математические способности заслужили ему уважение Иоганна Бернулли, одного из первых математиков в Европе в то время, и его сыновей Даниэля и Николя. Студентом Леонард был усердным, даже принял участие в конкурсе Академии наук в Париже на решение задачи о корабельных мачтах. Первое место он не занял (слишком молод и не сделал ни одной публикации), но вторым он стал. Однако, даже это не расстроило сильно будущего математика – его заметили и пригласили в Санкт-Петербург работать в Российской Академии наук.
В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, где он стал ассоциированным членом Академии наук и в 1733 году сменил Даниила Бернулли на кафедре математики. Именно на этом поприще Эйлер развернулся вовсю и продемонстрировал свои таланты. С помощью своих многочисленных книг и мемуаров, которые он представил в Академию, Эйлер нес интегральное исчисление в более высокой степени совершенства, разработал теорию тригонометрических и логарифмических функций, сводил аналитические операции к большей простоте. Леонард работал на износ, и это сказалось на его здоровье – от перенапряжения в 1735 году он потерял зрение на правом глазу.
Именно в России Леонард встретил свою любовь – швейцарку Катарину Гзель. Они поселились в собственном доме, где и родилось их многочисленное потомство – 13 детей.
К сожалению, в России начались трудные времена, наступила политическая нестабильность. Леонард уже имел в кармане приглашение короля Фридриха о переезде в Берлин. Что он и сделал. В 1741 году Эйлер с семьей осели в Берлине, и Леонард стал членом Берлинской академии, где в течение 25 лет не останавливался в публикациях.
В 1748 году в одной из своих аналитических книг он разработал концепцию функции в математическом анализе, через которую переменные связаны друг с другом и в которой он продвинул использование бесконечно малых и бесконечных величин. Он сделал для современной аналитической геометрии и тригонометрии то, что элементы Евклида сделали для древней геометрии.
Снова в Россию
Со времени отъезда Эйлера в России многое изменилось: наступила блестящая эпоха Екатерины Великой. Тем более что, как утверждал Фусс, родственник Эйлера, его неудержимо влекло в Россию. Однако Фридриху Великому не хотелось отпускать Эйлера в Петербург: он составлял славу академии и был очень полезен своим трудолюбием; король нехотя, но понемногу улучшал его материальное положение, а Эйлер, не имея веского предлога к отъезду в Россию, покорялся воле Фридриха и скрепя сердце оставался в Берлине.
Но в мае 1766 года русский посол в Берлине князь Долгорукий сообщил Эйлеру, что императрица Екатерина II, соглашаясь на любые условия, приглашает его снова приехать в Россию и занять «свое неотъемлемое место» в Академии наук. Эйлер едет в Петербург и наносит визит императрице, которая сразу же жалует ему восемь тысяч рублей серебром на покупку дома. Великий математик решает остаться.
Но едва ученый успел устроиться в Петербурге, его постигла болезнь, в результате которой он лишился второго глаза. Казалось, окончательная потеря зрения должна была лишить его возможности заниматься математикой. Но он как ни в чем не бывало продолжал свои труды, диктуя тексты, а его ученик Румовский переводил их на русский язык.
«Россия подает пример цивилизованной Европе, как чествовать великих людей при жизни и уважать их память по смерти; и другим нациям приходится в данном случае краснеть, что они не только в этом отношении не могли предупредить Россию, но даже не в силах ей подражать»
Эйлера продолжали преследовать несчастья. Внезапно дом его и большая часть имущества сгорели. Императрица Екатерина заботилась об Эйлере и на этот раз настояла на том, чтобы Эйлер пригласил лучшего окулиста того времени и подверг свой глаз операции. Само собой разумеется, что императрица дала ему необходимые на то средства. Эйлер пригласил барона Вентцеля, который снял с его глаза катаракту, и он снова увидел свет.
Но радость была непродолжительной. Несмотря на предостережение врача, Эйлер начал вновь усиленно работать и вторично лишился зрения.
Умер Эйлер 7 сентября 1783 года в возрасте 76 лет.
Петербургская академия наук облачилась в глубокий траур. Было решено, что мраморный бюст Эйлера всегда будет украшать собой зал, в котором происходят академические заседания.
Как писал французский философ и математик Кондорсе, Россия «подает пример цивилизованной Европе, как чествовать великих людей при жизни и уважать их память по смерти; и другим нациям приходится в данном случае краснеть, что они не только в этом отношении не могли предупредить Россию, но даже не в силах ей подражать».
Анализ
Эйлер утвердил применение показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах. Он открыл способ разложения различных логарифмических функций в степенной ряд, а также успешно доказал применение логарифмов к отрицательным и комплексным числам. Таким образом, Эйлер значительно расширил математическое применение логарифмов.
Этот великий математик также подробно объяснил теорию высших трансцендентных функций и представил новаторский подход к решению квадратных уравнений. Он открыл технику расчёта интегралов с применением сложных пределов. Разработал он и формулу вариационного исчисления, получившую название «уравнение Эйлера-Лагранжа».
Начало биографии
Леонард Эйлер волею судьбы получил математическое образование. Семья была строгих правил. Его отец был протестантским священником и жил недалеко от Базеля. Он отправил молодого Леонарда в Базельский университет для изучения богословия для того, чтобы тот в будущем стал священником. В том же университете, тринадцатилетний Леонард познакомился с Якобом Бернулли и подружился с его двумя сыновьями: Миколаем и Давидом. В 16 лет он окончил факультет математики, а не теологии как хотел его отец. Эйлер также изучал иврит, греческий язык и медицину.
Через три года будущий великий математик был удостоен первой премии Швейцарской академии наук за статью об оптимизации расстояния мачт для парусных судов. Научная карьера Эйлера была связана с двумя университетами. В тысяча семьсот двадцать четвертом году российская императрица Екатерина Первая основала академию в Санкт-Петербурге. Молодые сыновья Бернулли получили работу в этой Академии, и благодаря тому, что они были друзьями, Леонард отправился с ними в Санкт-Петербург. В то время Базельский университет отклонил заявку Эйлера, на то, чтобы тот стал ректором физического факультета, объясняя отказ слишком молодым возрастом Леонарда (в то время ему было около двадцати лет).
К сожалению, неприятности преследовали молодого человека. Когда Леонард Эйлер приехал в Санкт-Петербург, великая императрица скончалась после тяжелой болезни, и Академия наук постепенно приходила в упадок. Из-за этого Леонард нашел другую работу — сержанта в царском флоте. Он вернулся в Академию через три года, когда естественные и точные науки вновь стали востребованы в российском обществе. Эйлер стал преподавателем физики. Спустя несколько лет с начала преподавательской деятельности, он стал главным математиком, после того как Дэвид Бернулли покинул Российскую Академию наук.
Берлинский период
В 1741 году Фредерик Великий предложил Эйлеру стать главой математического факультета в Берлинской академии. Этот центр был гораздо более важным в мире науки, чем Царская академия. Эйлер принял предложение и провел 25 лет в Берлине. Затем он вернулся в Санкт-Петербург, потому что его попросила Екатерина Великая, которая предложила ему превосходное содержание и полную свободу научного творчества. В то время отношения Эйлера с Фредериком Великим были не лучшими, поэтому он с радостью покинул Берлин.
В 1748 году математик-теоретик закончил свою трехтомную работу под названием «Запуск бесконечно малого анализа», которая была опубликована в Лозанне. Даная работа представляет собой сборник его более ранних работ и математических статей, написанных на протяжении многих лет. Эта работа повлияла на путь становления современной математики. Здесь включено почти все, что в настоящее время преподается в области высшей алгебры и математического анализа.
От дифуров до топологии
Эйлер создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит большое число открытий. Например, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, различные приближенные методы и ряд приемов решения уравнений с частными производными.
Эйлер высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщенного суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже XIX и XX веков. Он открыл так называемую формулу суммирования Эйлера—Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя и ввел в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды).
По замечанию Пафнутия Чебышёва, Эйлер положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел. Так, он доказал ряд утверждений, высказанных Ферма (например, малую теорему Ферма). В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер впервые использовал методы анализа, став тем самым создателем аналитической теории чисел.
